Diagramas Lógicas
Algumas bancas cobram esse assunto como Proposições Categóricas
Conceito
Quantificador universal é representado pelo símbolo ∀
("para todo", "para qualquer", "qualquer que seja")
∀𝒙, 𝑥 + 10 = 50
Lemos essa expressão da seguinte forma: "qualquer que seja 𝒙, x mais dez é igual a cinquenta.".
De início, já percebemos que é possível atribuir um valor lógico a essa expressão.
A igualdade acima não será satisfeita para qualquer valor de 𝑥 e, por esse motivo, é falsa.
Quantificador existencial é representado pelo símbolo ∃
("existe", "algum", "pelo menos um")
∃𝒙 ∶ 𝑥 + 10 = 50
Lemos essa expressão como "existe 𝒙 tal que 𝑥 mais dez é igual a cinquenta.".
Observe que, de fato, existe 𝑥 tal que a equação é satisfeita (𝑥 = 40).
Portanto, ao adicionarmos o quantificador existencial a essa sentença aberta, obtemos uma proposição quantificada de valor lógico verdadeiro
Proposição Universal Afirmativa: Quantificador universal cujo predicado é uma afirmação.
Exemplo: Todo analista é pescador.
Proposição Universal Negativa: Quantificado universal cujo predicado é uma negação.
Exemplo:
- Todo concurseiro não é rico.
- Nenhum concurseiro é rico.
Pessoal, sempre que estivermos lidando com expressões do tipo "todo... não..." poderemos trocá-la por "nenhum".
Não há mudança de sentido ao reescrever as proposições usando esse tipo de substituição:
- "Todo paraense não é mentiroso." = "Nenhum paraense é mentiroso."
- "Toda estudante não é preguiçosa." = "Nenhuma estudante é preguiçosa."
- "Todo trabalhador não acorda tarde." = "Nenhum trabalhador acorda tarde."
Proposição Particular Afirmativa: É toda proposição iniciada por um quantificador existencial e cujo predicado é uma afirmação.
- Existe um matemático que é engenheiro.
- Pelo menos uma empresa é honesta.
- Algum advogado é médico.
Proposição Particular Negativa: É toda proposição iniciada por um quantificador existencial e cujo predicado é uma negação.
- Existe um matemático que não é engenheiro.
- Algum advogado não é médico.
- Pelo menos uma empresa não é honesta.
Equivalências
Algum A Não é B ⇔ Nem todo A é B
Todo A é B ⇔ Nenhum A não é B
Nenhum A é B ⇔ Todo A não é B
"Não entendi nada" ⇔ "Entendi algo"
Forma Canônica
Todo A é B
Todo concurseiro é maluco.
Formas equivalentes
Qualquer concurseiro é maluco.
Os concurseiros são malucos.
Nenhum concurseiro não é maluco.
Forma Canônica
Nenhum A é B
Nenhuma matéria é legal.
Formas equivalentes
Toda matéria não é legal.
Não existem matérias que são legais.
Forma Canônica
Algum A é B
Alguns animais são carnívoros.
Formas equivalentes
Existem animais que são carnívoros.
Exite um animal que é carnívoro.
Forma Canônica
Algum A não é B
Alguns lanches não são gostosos.
Formas equivalentes
Existem lanches que não são gostosos.
Nem todo lanche é gostoso.
Conectivos
Todo A é B
Se X é A, então A é B.
Exemplo:
- Todo paraense é brasileiro.
- Se X é paraense, então X é brasileiro.
Nenhum A é B
Se X é A, então X não é B.
Se X é B, então X não é A.
Exemplo
Se X é professor, então não é alto.
Se Marcio é professor, então ele não é alto.
Se X é alto, então ele não é professor.
Se Marcio é alto, então ele não é professor.
Algum A é B
X é A e X é B
Exemplo
Algum carro é importado.
X é carro e X é importado.
Algum A não é B
X é A e X não é B.
X é A mas X não é B.
Exemplo
Algum bicoito não é barato.
X é biscoito e X não é barato.
Negações
- Todo A é B.
- Negação: Algum A não é B.
✅ A mais cobrada em concursos.
Exemplo:
Todo brasileiro gosta de feijoada.
Negação: Algum brasileiro não gosta de feijoada.
Pessoal, coloquem na cabeça o seguinte: a negação de "todo(a)" não é "nenhum(a)".
Quando temos uma proposição universal afirmativa(todo) sua negação não será uma universal negativa(nenhuma)!
Lembre-se que a negação de uma proposição universal afirmativa é uma PARTICULAR NEGATIVA. Com isso:
p: “Todo programador é do CTIC”
¬p: "Algum programador não é do CTIC"
O não pode vir de forma implícita.
Exemplo:
Todo policial é honesto.
Algum policial é desonesto.
- Nenhum A é B -> Algum A é B.
- Algum A é B -> Nenhum A é B.
- Algum A não é B -> Todo A é B.
Exercícios
1. (FGV/PM-AM/2022) Considere a afirmação:
“Nenhum soldado escuta mal”.
A sua negação é:
A) Há pelo menos um soldado que escuta mal.
B) Vários soldados escutam mal.
C) Todos os soldados escutam mal.
D) Todos os soldados escutam bem.
E) Todas as pessoas que escutam bem são soldados.
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2. (FGV/SEFAZ-AM/2022) O diretor de uma empresa fez ao funcionário Miguel, do departamento financeiro, uma pergunta que foi prontamente respondida:
Diretor: — João disse que todos os funcionários receberam gratificação.
Miguel: — Não é verdade o que João disse.
Se o diretor considerou que Miguel falou a verdade, é correto concluir que:
A) pelo menos um funcionário não recebeu gratificação.
B) nenhum funcionário recebeu gratificação.
C) um único funcionário não recebeu gratificação.
D) mais da metade dos funcionários não receberam gratificação.
E) somente um funcionário recebeu gratificação.
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3. (FGV/SEFAZ-AM/2022) Considere as afirmativas:
- Alguns homens gostam de ler.
- Quem gosta de ler vai à livraria.
A partir dessas afirmativas é correto concluir que:
A) Todos os homens vão à livraria.
B) Mulheres não gostam de ler.
C) Quem vai à livraria gosta de ler.
D) Se um homem não vai à livraria então não gosta de ler.
E) Quem não gosta de ler não vai à livraria.
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4. (QUADRIX/CFT/2021) A negação da proposição:
“Todos os funcionários possuem pelo menos uma qualidade e nenhum homem tem as duas qualidades” é
“Existe algum funcionário que possui nenhuma qualidade ou algum homem não tem as duas qualidades”.
Certo ou errado
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5. (FCC/ALAP/2020) A negativa da afirmação " Todos os homens carregam todas suas malas" é:
A) Nenhum homem carrega todas suas malas.
B) Todos os homens carregam apenas uma de suas malas.
C) Pelo menos um homem não carrega nenhuma de suas malas.
D) Todos os homens não carregam nenhuma de suas malas.
E) Pelo menos um homem não carrega todas suas malas.
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6. (CESPE/IBGE/2021) Se a informação “Todas as casas das ruas A e B foram visitadas.” é falsa, então
A) todas as casas da rua A não foram visitadas ou todas as casas da rua B não foram visitadas.
B) alguma casa da rua A não foi visitada ou alguma casa da rua B não foi visitada.
C) pelo menos uma casa da rua A não foi visitada e pelo menos uma casa da rua B não foi visitada.
D) nenhuma casa da rua A foi visitada e nenhuma casa da rua B foi visitada.
E) todas as casas da rua A não foram visitadas ou todas as casas da rua B não foram visitadas.
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